高考数列大题及答案，高考数列大题及答案解析
高考数学题背后的逻辑与美学
在高考数学的宏大版图中,数列大题如同一座精心设计的迷宫，它不仅考验着学生的逻辑推理能力与计算技巧，更暗藏着数学之美的密码，这类题目常以递推关系、通项公式或求和技巧为载体，要求考生在抽象的符号海洋中探寻规律，在严谨的逻辑链条上构建答案，本文将以一道经典的高考数列大题为范例，深入剖析其解题路径，并揭示数列问题背后所蕴含的深刻数学思想与方法。
题目呈现
已知数列 ${a_n}$ 满足 $a1 = 1$，且 $a{n+1} = 2a_n + 1$ （$n \in \mathbb{N}^*$）。
（1）求 ${a_n}$ 的通项公式； （2）设 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，求数列 ${b_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
解题思路与解析
（一）第一问：求通项公式
目标：由递推关系 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ 及初始条件 $a_1 = 1$，推导出 ${a_n}$ 的显式表达式（即通项公式）。
思路：本题的递推关系 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ 是一个典型的“一阶线性非齐次递推关系”，此类问题，常规的求解策略是通过构造辅助数列，将其转化为我们更熟悉的等比数列或等差数列，从而“化繁为简”，最终求出通项。
步骤：
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构造辅助数列： 我们的目标是找到一个常数 $k$，使得构造出的新数列 ${an + k}$ 是一个等比数列，为此，我们对原递推关系进行变形： $$ a{n+1} = 2an + 1 $$ 两边同时加上一个待定的常数 $k$： $$ a{n+1} + k = 2a_n + 1 + k $$ 我们希望右边能因式分解，形成 $2(an + c)$ 的形式，为了使等式成立，我们令 $1 + k = 2k$，解得 $k = 1$。 将 $k=1$ 代入，我们得到： $$ a{n+1} + 1 = 2(a_n + 1) $$ 这个新关系式表明，数列 ${a_n + 1}$ 是一个等比数列。
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求解新数列： 根据等比数列的定义，新数列 ${a_n + 1}$ 的首项为 $a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$，公比为 $2$。 其通项公式为： $$ a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $$
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还原得到原数列通项： 将上式变形，即可得到数列 ${a_n}$ 的通项公式： $$ a_n = 2^n - 1 $$
验证：
- 当 $n=1$ 时，$a_1 = 2^1 - 1 = 1$，与初始条件一致。
- 当 $n=2$ 时，根据递推关系 $a_2 = 2a_1 + 1 = 3$；根据通项公式 $a_2 = 2^2 - 1 = 3$，结果吻合。
（二）第二问：求数列 ${b_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$
目标：在第一问的基础上，求由 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ 构成的新数列 ${b_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
思路：我们将 $b_n$ 的表达式用第一问求得的通项公式进行替换，观察其结构，通常会采用“裂项相消法”或“错位相减法”来解决此类求和问题，本题的结构更适合使用裂项相消法。
步骤：
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化简 $b_n$ 的表达式： 将 $a_n = 2^n - 1$ 代入 $b_n$ 的定义中： $$ b_n = \frac{a_n}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} $$
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求和并应用裂项相消： 我们将 $S_n$ 表示为 $n$ 个 $b_k$ 的和： $$ Sn = \sum{k=1}^n bk = \sum{k=1}^n \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) $$ 根据求和的线性性质，可以将求和符号分配到括号内的每一项： $$ Sn = \sum{k=1}^n 1 - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} $$
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分别计算两个求和式：
- 第一项：$\sum_{k=1}^n 1$ 是一个常数列求和，其结果为 $n$。
- 第二项：$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}$ 是一个首项为 $\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列求和，根据等比数列求和公式 $S_n = \frac{a1(1-q^n)}{1-q}$，我们得到： $$ \sum{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n} $$
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合并结果： 将两部分求和结果代入 $S_n$ 的表达式： $$ S_n = n - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = n - 1 + \frac{1}{2^n} $$
验证：
- 当 $n=1$ 时，$S_1 = b_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$；根据公式，$S_1 = 1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，符合。
- 当 $n=2$ 时，$S_2 = b_1 + b_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$；根据公式，$S_2 = 2 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$，符合。
数列问题的数学思想
本题的求解过程,如同一部微型的数学探索史，深刻体现了数学中“转化与化归”的核心思想，它告诉我们，面对复杂问题时，不应畏惧，而应通过一系列的转化，将其逐步归结为已解决或更简单的问题。
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递推关系的转化：在第一问中，我们面对的是一个非齐次线性递推关系，通过巧妙地构造辅助数列 ${a_n + 1}$，我们将一个陌生的、非标准的递推问题，成功转化为了一个标准的、熟悉的等比数列问题，这个过程体现了数学的“结构化”思维，即通过添加或改变元素，揭示问题内在的优美结构。
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求和技巧的转化：在第二问中，我们将复杂的分数求和 $\sum \frac{2^k - 1}{2^k}$，通过代数变形，拆解为一个简单的整数求和一个等比数列求和，这种“化整为零”的策略，是解决复杂求和问题的利器，它不仅简化了计算，更让我们看到了不同数学概念（如多项式与几何级数）之间的深刻联系。
数列问题还常常与数学归纳法紧密相连，虽然本题未直接使用，但当我们猜想出通项
