高考数学2017重庆，2017重庆数学高考21题

最后一道题的形状

考场里只有风扇在头顶嗡鸣,像一只疲倦的夏蝉，有气无气地拖着长音，我盯着试卷上最后一道大题，那道解析几何题的图形在眼前扭曲成一片模糊的线条，坐标系里的点、线、曲线，像被雨水打湿的墨迹，在稿纸上晕开一片混沌。

时针指向下午三点十五分,距离交卷还有四十五分钟，前五道选择题和三道填空题，我已经在草稿纸上反复验算过三遍，答案像被订书机钉在纸上，再不会移动，但最后一道题，分值二十分，像横在面前的一道深渊，而我手里只有一根脆弱的稻草。

写道：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2/2，椭圆上的点到焦点的距离最大值为1+√2。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。

草稿纸上已经画了三个坐标系,第一个坐标系里的椭圆被我画成了一个憨态可掬的圆形，第二个又瘦得像一条风干的鱼，橡皮屑在桌角堆成一座微型雪山，窗外的蝉鸣突然尖锐起来，像一根细针，刺得太阳穴突突直跳。

我想起高三开学时,数学老师在黑板上写下那行粉笔字，字迹苍劲有力：“解析几何是代数的形状，代数是几何的语言。”那时我还不解其意，直到第一次月考，我在解析几何题上得了零分，老师在卷子旁边画了个哭脸，旁边写着一行小字：“你的点和线都在迷路。”

后来,每个放学后的黄昏，我独自留在教室里做题，直到保安锁门，月光如水银般透过窗户，洒在摊开的练习册上，那些抛物线、双曲线在黑暗里泛着微光，我渐渐发现，每道题都有它独特的形状——椭圆像被岁月压扁的记忆，双曲线像张开迎接未来的两翼，而抛物线，总是朝着某个既定的方向，义无反顾地延伸。

我重新聚焦于题目里的“离心率√2/2”和“最大距离1+√2”，老师的话在耳边回响：“离心率，是椭圆的扁度。”设椭圆方程为x²/a² + y²/b² = 1，离心率e = c/a = √2/2，所以c = a√2/2，椭圆上的点到焦点的距离最大值为a + c，即a + a√2/2 = a(1 + √2/2) = 1 + √2，解得a = 2，b² = a² - c² = 4 - 2 = 2，第一问的答案，像沉在水底的石头，终于被我打捞上来：x²/4 + y²/2 = 1。

第二问的挑战才刚刚开始,设直线l的方程为y = kx + m，与椭圆联立，整理得(2k² + 1)x² + 4kmx + 2m² - 4 = 0，OA⊥OB的条件是向量点积为零，即x₁x₂ + y₁y₂ = 0，将y₁ = kx₁ + m，y₂ = kx₂ + m代入，展开后得到(1 + k²)x₁x₂ + km(x₁ + x₂) + m² = 0，套用韦达定理，将x₁+x₂与x₁x₂的表达式代入，经过一番繁琐的代数运算，最终得到m² = 2k²/(k² + 1)，接下来是AB长度的计算，公式为√(1 + k²)·|x₁ - x₂|，平方后是(1 + k²)[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]，我将所有代入、化简，笔尖在草稿纸上划出沙沙的声响，像春蚕在寂静的夜里，不知疲倦地啃食着桑叶。

汗水顺着鬓角滑落,滴在试卷上，晕开一个淡淡的圆点，在这一刻，我忽然醍醐灌顶：这些看似枯燥的代数运算，其实是在用另一种语言，一笔一画地描摹着图形的形状，m与k的关系，在坐标系中勾勒出一条优美的双曲线；AB长度的表达式，则像一条开口向上的抛物线；而OA⊥OB的条件，宛如两条垂直的直线，在无尽的坐标系中，注定有一次优雅的相遇。

当AB长度的最小值最终化简为2√6/3时，窗外的蝉鸣戛然而止，风扇还在头顶转动，但声音似乎变得柔和了许多，我抬起头，看见监考老师正踱到窗边，阳光透过他的眼镜片，在他脸上投下两片温暖而安详的阴影。

交卷铃响时,我郑重地将试卷叠好，放进透明的文件袋，走出考场，夏日的热浪扑面而来，但我心中却如被清泉涤荡过一般，澄澈而安宁，那些曾经让我头疼欲裂的公式与定理，此刻都仿佛拥有了生命与温度——它们是严谨的代数形状，也是我们滚烫的青春形状，是我们在无数个与星辰为伴的深夜里，用笔尖的沙沙声和额角的汗水，一笔一画精心描摹出的，通往未来的那条独一无二的路。