2017高考丙卷数学，2017数学高考卷2

那道解析几何题里的时光褶皱

2017年丙卷数学的最后一道解析几何大题,宛如一枚被岁月打磨得温润的鹅卵石，静静躺在试卷的末尾，它以抛物线与圆的精妙交汇为舞台，在直角坐标系中铺展出一道需要精密计算与深刻洞察的几何谜题，当考生们握着笔，在草稿纸上沙沙推演着那些交点坐标与切线方程时，他们或许未曾意识到，自己正在参与一场跨越时空的数学对话——那些看似冰冷的符号与曲线，实则凝结着人类对"形"与"数"关系最执着的探索，是理性与想象共同谱写的诗篇。

这道题的题干设计颇具匠心：给定抛物线y²=2px（p>0），点M在其准线x=-p上运动，过M作抛物线的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，要求证明直线AB恒过某个定点，并计算该定点的坐标，这种动态几何问题，恰如微积分思想在初等数学中的优雅投影——点M在准线上的轨迹是"因"，AB的恒定定点是"果"，而考生需要做的，就是在代数与几何的相互印证中，捕捉住这因果链条中最本质的那环，它不仅是一道题，更是一座桥梁，连接着静态的方程与动态的轨迹。

解题过程中,考生们会经历一场思维的淬炼，设出M的坐标为(x₀, -p/2)，然后利用导数法（y²=2px，在点A(x₁,y₁)处的导数为y'=p/y₁，故切线方程为y₁y=p(x+x₁)）或判别式法，求出两条切线MA、MB的方程，当将两条切线方程联立，并利用点M在切线上的条件进行化简时，那些看似杂乱的x₀项与y₀项会神奇地消去，最终露出AB直线方程的真容：x₀x = p(y - y₀)，再将M的坐标代入，整理为x₀x = p(y + p/2)，最后将方程化为点斜式或截距式，便能发现无论x₀如何变化（即无论M在准线上何处），直线AB始终经过点(-p, 0)，这个推导过程，就像在迷雾中沿着逻辑的藤蔓攀爬，每一步都需要严谨的代数变形与几何洞察，而最终豁然开朗的那一刻，数学之美便如朝阳般照亮了整个思维空间，那种纯粹的喜悦，是解题者独有的勋章。

这道题的价值远不止于考察知识点,它更像一面棱镜，折射出解析几何的核心精神——用代数语言精准诠释几何直观，又以几何直观巧妙约束代数推演，考生在解题时，既需要像代数学家般精确运算，步步为营，又要像几何学家般在脑海中勾勒出抛物线的轮廓、切线的动态变化以及那条神秘的恒定直线，这种代数与几何思维的“双重奏”，恰是数学最迷人的乐章，当考生们最终在草稿纸上郑重写下“定点为(-p,0)”时，他们不仅完成了一道试题，更是在参与一场延续了四百年的智力接力——从笛卡尔发明坐标系，开创“解析几何”之先河，到费马独立提出“极大极小”方法，再到今天考场上的每一次推演，人类对数形结合的探索从未停歇，薪火相传。

那年的考生而言,这道题或许曾带来过焦虑与困惑，甚至有人可能在考场上与它“相顾无言”，但多年后回望，它或许会成为记忆里一抹温润的光，因为数学的魅力，正在于那些看似枯燥的推演背后，藏着对世界秩序与本质的深刻洞察，当AB直线恒定地穿过那个定点(-p,0)时，它不仅连接了抛物线上的两点A与B，更以一种抽象而永恒的方式，连接了古今中外无数数学家的智慧与求索，而那些在考场上奋笔疾书的少年们，也在这道题里，短暂地触摸到了数学永恒的脉搏——那是人类理性最纯粹的闪光，它在时光的长河中，永远熠熠生辉，指引着后人继续探索未知的星辰大海。