高考函数知识点，高考函数知识点总结

高考函数知识体系深度解析与实战备考策略

（全文约2180字）

高考函数知识体系架构 函数作为高中数学的核心内容，在高考数学试卷中占比达25%-30%，其命题呈现"基础题+综合题"的双层结构，2023年新高考数据显示，全国卷平均分值为82.5，其中函数与导数模块得分率仅为68.3%，暴露出学生的知识掌握存在明显漏洞，本文从知识图谱、命题规律、解题策略三个维度，系统梳理高考函数核心考点。

函数基础概念精讲 （一）函数定义的数学本质 函数f:A→B的严格定义包含三个要素：非空定义域A、值域B、映射关系f，近年高考命题中，定义域判断成为失分重灾区，例如2022年全国乙卷第12题中，函数f(x)=√(2^x-1)/lg(3x-2)的定义域求解，需综合指数函数与对数函数的定义域特征，正确解集为{x∈R|2^x≥1且3x-2>0且3x-2≠1}，即{x≥0且x≠1}。

（二）函数表示的多元融合 高考常考的函数表示形式包括：

1. 解析式：f(x)=x³-3x²+2（2021全国新高考Ⅰ卷）
2. 图像法：2019全国卷Ⅰ第15题通过图形转换考查函数性质
3. 数表法：2023新高考Ⅱ卷第5题利用数据表格分析函数规律
4. 复合表示：如f(g(x))=lg(2^{g(x)}+1)，需建立函数嵌套思维

（三）函数性质的系统关联

1. 奇偶性的几何特征：偶函数图像y轴对称，奇函数原点对称，2023全国乙卷第22题将奇偶性与周期性结合，构造分段函数f(x)=x²sin(π/x)（x≠0），要求判断其奇偶性。
2. 单调性的证明方法：

• 代数法：比较f(x₁)-f(x₂)与0的关系
• 几何法：利用导数符号判断
• 复合函数法：如f(x)=e^{-x}ln(1+x)的单调性分析

有界性的证明技巧：常用绝对值不等式、导数法、反函数法等

核心考点深度剖析 （一）二次函数的延伸应用

1. 模型转化：将实际应用问题转化为二次函数模型，如2022全国甲卷第17题运输成本最优化问题。
2. 拓展形式：

• 完全平方式：f(x)=a(x-h)^2+k
• 缺陷二次式：f(x)=a(x²+bx)+c
• 分段二次函数：如f(x)={x²-2|x|+2, x≤0; 2|x|+x²-2, x>0}

参数讨论：重点掌握a≠0、顶点坐标、对称轴、最值等参数的动态分析。

（二）指数对数函数的变形

指数函数：

• 底数分类讨论：a>1,0<a<1,a=1
• 函数图像特征：2023全国乙卷第12题考查指数函数与对数函数图像交点问题

对数函数：

• 定义域转换：如f(x)=log_a(x²-2x-3)需解不等式x²-2x-3>0
• 换底公式应用：log_a b = ln b / ln a
• 函数性质迁移：2021全国新高考Ⅱ卷第21题将log_2(1+x)+log_2(1-x)与导数结合

（三）三角函数的复合命题

三角函数性质：

• 周期性：sinx的周期为2π，tanx的周期为π
• 有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1
• 奇偶性：sinx为奇函数，cosx为偶函数

高频变形：

• 和差化积：如sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
• 积化和差：如sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2
• 三角函数方程：如2cos²x-3sinx=0的解集为{x=π/6+2kπ或x=5π/6+2kπ,k∈Z}

（四）导数应用的三大场景

1. 函数单调性判断：求导后分析f’(x)的符号
2. 极值与最值求解：结合导数与函数连续性
3. 凹凸性与拐点：二阶导数f''(x)的符号分析 典型案例：2023全国甲卷第22题，要求证明函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,2]上的最大值和最小值。

高频考点题型解法 （一）函数方程求解

解法分类：

• 代入消元法：如已知f(x)+f(1-x)=x，求f(x)
• 建立方程组：适用于分段函数
• 函数思想转化：如令g(x)=f(x)-x，构造g(x)=g(1-x)

典型例题： 设f(x)满足f(x)+f(1-x)=2x，求f(2)的值。 解：令x=2，得f(2)+f(-1)=4；令x=-1，得f(-1)+f(2)= -2，联立解得f(2)=1。

（二）函数与方程综合题

根的分布问题：

• 利用中间值定理：f(a)·f(b)<0
• 综合分离参数法：如求x的方程2^x +x=3的解集

实根个数分析：

• 函数图像交点法
• 导数法确定极值点
• 渐进法逼近根的位置

（三）数形结合问题

图像变换：

• 平移变换：f(x)→f(x+h)+k
• 反转变换：f(x)→f(-x)
• 对称变换：f(x)→f(a-x)

典型题型： 已知函数f(x)=x³-3x²+2与g(x)=x²