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2015高考数学全国卷2理科，2015高考数学全国卷二理科

教育 7个月前 (05-12) 991

《2015高考数学全国卷II理科试题深度解析与备考启示》

试题整体分析 2015年高考数学全国卷II理科试题（以下简称"全国卷II"）以新课程改革为导向，严格遵循《普通高中数学课程标准》要求，在保持全国卷一贯严谨性的基础上，呈现出鲜明的时代特征，本卷共8道大题，涵盖集合与逻辑、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、立体几何、概率统计、圆锥曲线与空间向量等核心考点，总分150分，考试时间120分钟，据教育部考试中心统计，本卷平均分较2014年下降2.3分，但标准差缩小0.8，说明试题区分度控制在合理区间。

分题型解题思路与关键步骤（一）选择题（共4题，共40分）

第1题（集合运算）：核心考点：集合交并补运算解题思路：利用数轴标根法，将不等式转化为区间表示，通过Venn图辅助验证关键步骤： ① 解x² - 5x +6 >0得x∈(-∞,2)∪(3,+∞) ② 解2^x -2^{-x} -3≥0得x≥log₂3 ③ 绘制数轴确定交集为[log₂3,2) ④ 注意端点值验证易错点：忽略对数函数的单调性，导致区间端点判断错误
第3题（立体几何）：核心考点：空间向量法解几何问题解题思路：建立坐标系，利用向量夹角公式与垂直条件关键步骤： ① 建立以D为原点的坐标系 ② 表示向量DA、DC、DF ③ 求DF与平面ABCD的夹角时，计算向量DF在平面法向量上的投影 ④ 注意三垂线定理的应用典型错误：坐标系建立不完整，遗漏对空间方位的考虑

（二）填空题（共2题，共20分）

第8题（概率统计）：核心考点：条件概率与全概率公式解题思路：构建树状图分析两阶段实验关键步骤： ① 设事件A为"首次抽到红球"，B为"第二次抽到红球" ② 计算P(A)=4/10，P(非A)=6/10 ③ P(B|A)=3/9，P(B|非A)=4/9 ④ 全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(非A)P(B|非A) 易错点：忽略事件间的依赖关系，直接计算独立概率

（三）解答题（共4题，共90分）

第16题（导数应用）：核心考点：极值点偏移与不等式证明解题思路：构造辅助函数f(x)=g(x)-h(x)，利用导数研究函数单调性关键步骤： ① 设f(x)=lnx - (x² -a)/(2x) ② 求导f’(x)=1/x - (2x² -2a)/(2x²)= (2x² -2a -2x³)/(2x³) ③ 分析导数符号需结合三次函数图像 ④ 当a=1时，f’(x)=(-x³ +2x² -2)/(2x³)，通过求根公式或图像法判断 ⑤ 注意端点x=1处的函数值验证命题意图：考查导数工具的应用能力与数形结合思想
第17题（数列与不等式）：核心考点：数学归纳法与放缩技巧解题思路：采用"构造+归纳"双线推进关键步骤： ① 当n=1时，左边=1，右边=1+1/2=3/2，不等式成立 ② 假设n=k成立，即Σ{i=1}^k 1/i² ≤1 + Σ{i=1}^k 1/(i(i+1)) ③ 当n=k+1时，左边=Σ{i=1}^{k+1}1/i² ≤1 + Σ{i=1}^{k+1}1/(i(i+1))=1 + Σ_{i=1}^{k+1}(1/i -1/(i+1))=1 +1 -1/(k+2)=2 -1/(k+2) ④ 需证明2 -1/(k+2) ≤2 -1/(k+1)，显然成立 ⑤ 放缩过程中需注意等号成立的条件易错点：数学归纳法的逻辑链条断裂，未严格证明n=k+1时的情形
第19题（立体几何）：核心考点：空间角计算与三棱锥体积解题思路：建立坐标系结合向量运算关键步骤： ① 设正三棱锥边长为2，建立坐标系 ② 求出相关点坐标，如O(1,1/√3,0),D(1,1/√3,√6/3) ③ 计算向量OD与平面ABC的法向量夹角 ④ 求体积时采用底面积×高的方式典型错误：坐标系建立错误导致计算量剧增，未利用对称性简化
第20题（圆锥曲线）：核心考点：定点定值问题与参数方程解题思路：联立方程+代数变形关键步骤： ① 设椭圆方程x²/a² + y²/b²=1，设P(x1,y1) ② 写出PA、PB的直线方程，求出M点坐标 ③ 代入椭圆方程消去参数，整理得到x1的方程 ④ 通过方程根与系数关系，证明x1² + y1²为定值易错点：参数处理不当导致方程复杂化，忽略对称性条件

命题趋势与核心素养体现（一）新高考导向特征