1984年数学高考卷，1984年数学高考卷史上最难

1984：一张数学高考卷里的时代密码

1984年的夏天，蝉鸣把空气烫得发软，河北保定的一间教室里，十七岁的李建国攥着钢笔，指节因为用力而泛白，课桌上的搪瓷缸里，浓茶梗已经泡得发皱，这是他每天清晨从家里带来的提神物——父亲说，"喝完这个，才能算得比城里孩子快"，窗外的杨树被风掀起叶背，露出灰白色的背面,像极了此刻他草稿纸上反复涂改的函数图像。

那年夏天，全国数百万考生挤在类似的教室里，面对的正是后来被载入教育史的1984年数学高考全国卷，这张卷子没有选择题，没有填空题，只有清一色的解答题，从第一题"解不等式"到最后一道"附加题"，整整十二道题，像十二道关卡，横亘在农家子弟与大学校园之间，李建国后来回忆，"考完最后一道解析几何，我感觉自己像是从一场仗里活着出来，草稿纸上写满了公式，也写满了这辈子都没算过的数字"。

一张卷子的"素颜"：没有花哨，只有硬功夫

1984年的数学卷，朴素得像农民身上的粗布褂子，卷面开头印着"注意事项"：本题共十二个大题，满分120分，附加题10分，不计入总分，字是宋体，规规矩矩，没有多余的装饰，第一题是"解不等式 |2x-1| < 3"，第二题是"已知sinα=4/5，α在第二象限，求cosα/2的值"，第三题是"求函数y=logₐ(x²-3x+2)的定义域"——这些题目，如今看来像是高中数学课本里的"老熟人"，但在1984年，它们却是决定命运的"筛子"。

当时的数学教育，刚从"文革"的废墟中恢复不久，1977年恢复高考时，数学命题组还面临着"教什么考什么"的迷茫；到了1984年，命题思路已经逐渐清晰：不搞偏题怪题，只考"双基"——基础知识、基本技能，比如第四题"用数学归纳法证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2"，第五题"已知椭圆方程x²/25 + y²/9=1，求椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值"，这些题目不依赖复杂的技巧，却要求考生对概念的理解必须"扎进骨头里"。

最让考生"头大"的是第八题："甲、乙两人各进行一次射击，如果甲击中目标的概率是0.6，乙击中目标的概率是0.7，求：（1）两人都击中目标的概率；（2）恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率。"这是概率统计的题目，在当时的高中教材里还是"新鲜事物"，很多农村中学甚至没专门教过概率，老师只能在考前临时抱佛脚，"告诉大家'概率就是可能性'，然后用硬币抛了半天"。

草稿纸上的"战场"：从铅笔头到钢笔尖的较量

1984年的考场，没有计算器，没有草稿纸（考生自备），只有一支钢笔、一块橡皮，和一摞写满演算过程的草稿纸，李建国记得，他用的草稿纸是父亲从供销社买来的黄草纸，纸质粗糙，一用力就会划破，解立体几何题时，他需要徒手画三视图，"直线画歪了，只能用橡皮擦，擦多了纸就破了，后面只能垫着本子写"。

第九题是立体几何："在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，求二面角P-BC-A的大小。"这道题需要考生先证明PA⊥BC，再找到二面角的平面角，最后用三角函数求解，李建国在草稿纸上画了半个钟头，三棱锥画成了"四不像"，"最后急了，直接在图上标了个直角，写'tanθ=1，θ=45°'，结果居然对了——后来老师说，这就是'数形结合'的笨办法"。

最后一道附加题是压轴题："设a是一个正数，f(x)=(1+a)^x，g(x)=(1+ax)/(1+x)，其中0≤x≤1，比较f(x)和g(x)的大小，并加以证明。"这道题后来被