高考数学全国卷真题，高考数学全国卷真题精编

一场思维的马拉松

高考数学全国卷真题,如同一座巍峨的山峰，每年都吸引着无数渴望征服它的学子，它不仅仅是一张试卷，更是一场思维的马拉松，一次对逻辑严谨性、思维耐心与创新能力的全面淬炼，在这场无声的较量中，每一道题目都是精心设计的关卡，既考察基础知识的扎实程度，又检验灵活运用知识解决复杂问题的能力，下面，我们将以一道经过精心改编的高考数学全国卷典型真题为例，深入探讨其背后的设计思路与解题策略。

题目：已知函数 \( f(x) = \frac{\ln x}{x} - a \) 在区间 \( (1, +\infty) \) 上有两个不同的零点 \( x_1, x_2 \)，且满足 \( x_1 x_2 = e^2 \)，求实数 \( a \) 的取值范围。

解析：函数与方程的交响

这道题以对数函数与分式函数的巧妙组合为载体,看似简约，实则暗藏玄机，它融合了函数性质、方程根的分布、参数影响等多个核心知识点，形成了一个环环相扣的逻辑链条，解题的关键在于：如何将零点问题转化为方程问题，如何利用函数图像直观理解解的个数，以及如何通过代数变形构建参数 \( a \) 的不等式。

第一步：明确函数定义域与基本性质

函数 \( f(x) = \frac{\ln x}{x} - a \) 的定义域为 \( (0, +\infty) \)，在区间 \( (1, +\infty) \) 内，由于 \( \ln x > 0 \) 且 \( x > 0 \)，\( \frac{\ln x}{x} > 0 \)，函数 \( f(x) \) 的零点，即方程 \( \frac{\ln x}{x} = a \) 的解，为了研究这个方程解的个数，我们需要先分析函数 \( g(x) = \frac{\ln x}{x} \) 的图像特征。

第二步：分析函数 \( g(x) = \frac{\ln x}{x} \) 的单调性与极值

对 \( g(x) \) 求导，得到： \[ g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] 令 \( g'(x) = 0 \)，解得 \( \ln x = 1 \)，即 \( x = e \)。

• 当 \( 1 < x < e \) 时，\( \ln x < 1 \)，故 \( g'(x) > 0 \)，函数 \( g(x) \) 单调递增；
• 当 \( x > e \) 时，\( \ln x > 1 \)，故 \( g'(x) < 0 \)，函数 \( g(x) \) 单调递减。

函数 \( g(x) \) 在 \( x = e \) 处取得极大值 \( g(e) = \frac{1}{e} \)，我们可以观察到： \[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \] 这表明，函数 \( g(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上的图像从原点附近开始上升，在 \( x = e \) 处达到最高点 \( \frac{1}{e} \)，然后再逐渐趋近于 0。

第三步：确定方程 \( \frac{\ln x}{x} = a \) 的解的个数

结合 \( g(x) \) 的单调性与极值，我们可以直观地判断方程 \( \frac{\ln x}{x} = a \) 解的个数：

• 当 \( a > \frac{1}{e} \) 时，直线 \( y = a \) 与曲线 \( y = g(x) \) 无交点，方程无解；
• 当 \( a = \frac{1}{e} \) 时，直线 \( y = a \) 与曲线 \( y = g(x) \) 在 \( x = e \) 处相切，方程有一个解；
• 当 \( 0 < a < \frac{1}{e} \) 时，直线 \( y = a \) 与曲线 \( y = g(x) \) 有两个不同的交点，分别位于 \( (1, e) \) 和 \( (e, +\infty) \) 内，方程有两个不同的解；
• 当 \( a \leq 0 \) 时，由于在 \( (1, +\infty) \) 上 \( g(x) > 0 \)，方程无解。

为了使原函数 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上有两个不同的零点，必须有 \( 0 < a < \frac{1}{e} \)。

第四步：利用条件 \( x_1 x_2 = e^2 \) 进一步限制 \( a \)

设 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( \frac{\ln x}{x} = a \) 的两个解，则有： \[ \ln x_1 = a x_1, \quad \ln x_2 = a x_2 \] 将两式相加，得到： \[ \ln x_1 + \ln x_2 = a (x_1 + x_2) \] \[ \ln (x_1 x_2) = a (x_1 + x_2) \] 根据题意 \( x_1 x_2 = e^2 \)，代入上式： \[ \ln e^2 = a (x_1 + x_2) \] \[ 2 = a (x_1 + x_2) \] \[ x_1 + x_2 = \frac{2}{a} \] 我们得到了 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的两个关系式：\( x_1 x_2 = e^2 \) 和 \( x_1 + x_2 = \frac{2}{a} \)，这表明 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是一元二次方程 \( t^2 - \frac{2}{a} t + e^2 = 0 \) 的两个根，为了使这个方程存在两个不同的正实数根，其判别式必须大于零： \[ \Delta = \left( -\frac{2}{a} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot e^2 > 0 \] \[ \frac{4}{a^2} - 4e^2 > 0 \] \[ \frac{1}{a^2} - e^2 > 0 \] \[ \frac{1 - a^2 e^2}{a^2} > 0 \] 由于分母 \( a^2 > 0 \)（因为 \( a > 0 \)），所以只需分子大于零： \[ 1 - a^2 e^2 > 0 \] \[ a^2 e^2 < 1 \] \[ a^2 < \frac{1}{e^2} \] \[ -\frac{1}{e} < a < \frac{1}{e} \] 结合之前得到的 \( 0 < a < \frac{1}{e} \)，我们进一步将 \( a \) 的范围缩小为 \( 0 < a < \frac{1}{e} \)。

第五步：验证边界条件的合理性

虽然我们已经通过代数推导得到了 \( a \) 的范围，但严谨的数学思维要求我们验证边界情况： * **当 \( a \) 趋近于 \( \frac{1}{e} \) 时**：两个零点 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 都趋近于 \( e \)，\( x_1 x_2 \) 趋近于 \( e^2 \)，但 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 重合，不满足“两个不同零点”的条件，\( a \) 不能等于 \( \frac{1}{e} \)。 * **当 \( a \) 趋近于 \( 0^+ \) 时**：一个零点 \( x_1 \) 趋近于 \( 1^+ \)，另一个零点 \( x_2 \) 趋近于 \( +\infty \)，\( x_1 x_2 \) 趋近于 \( +\infty \)，不满足 \( x_1 x_2 = e^2