高考数学压轴大题，高考数学压轴大题2019年

《最后一道证明题》

高考数学考场里的挂钟永远走得分外沉重，秒针每一次跳动都像在考生紧绷的神经上敲响战鼓，当林风翻开最后一张试卷时，那道压轴题如同一座突然矗立的雪山,巍峨冷峻地占据了视野中央：

"已知函数f(x)=e^x+ax²+bx+c，在区间[0,2]上存在极值点，且f(0)=f(2)=1，证明：a＜-1。"

教室里只剩下笔尖划过草稿纸的沙沙声，像无数只春蚕在静谧中啃噬桑叶，林风凝视着题目里的e^x，忽然想起三年前那个蝉鸣聒噪的盛夏，数学老师在黑板上写下"极值点"三个字时，粉笔末簌簌落在讲台上的积灰里,在阳光下闪烁如星。

那时的他正望着窗外发呆，阳光透过梧桐叶的缝隙在课桌上投下晃动的光斑，像极了他此刻眼前跳动的函数图像，老师的声音从遥远的彼岸传来："极值点就像山脊与山谷的交界，函数在那里完成从上升到下降的华丽蜕变。"

这道题要求他证明函数在[0,2]的区间里存在这样的"蜕变"，并且用参数a、b、c编织的缰绳，将这个蜕变牢牢束缚在a＜-1的数学牢笼里，林风深吸一口气，草稿纸上迅速铺展开f(x)的导数：f'(x)=e^x+2ax+b。

极值点存在的充要条件是f'(x)=0在[0,2]内有解，这个方程看似是个无法解开的死结，e^x与线性函数的纠缠，让林风想起母亲织毛衣时那些缠绕在一起的毛线，但题目还悄悄递来两把钥匙：f(0)=1和f(2)=1。

当x=0时，c=1；当x=2时，e²+4a+2b+1=1，化简得4a+2b=-e²，这两组条件像两座矗立在函数海洋中的灯塔，在迷雾中投下微光，林风突然灵光一闪，或许应该构造一个辅助函数,把极值点的存在性巧妙转化为函数的零点问题。

他设g(x)=f'(x)=e^x+2ax+b，那么g'(x)=e^x+2a，题目说f(x)在[0,2]有极值点，意味着g(x)=0在[0,2]内有解，而g'(x)的符号决定了g(x)的单调性——当a＜0时，e^x+2a可能在某个区间内由正变负，就像黎明前的黑暗,总会有曙光刺破夜幕。

林风在草稿纸上精准画出g'(x)的图像，这条优雅的指数曲线与水平线y=-2a的交点，成了整个证明题的枢纽，当x＜ln(-2a)时，g'(x)＞0；当x＞ln(-2a)时，g'(x)＜0，这意味着g(x)在x=ln(-2a)处取得极大值,宛如一座数学山峰在函数图像上拔地而起。

现在需要确保这座山峰落在[0,2]的区间内，并且山峰的高度要足够高，山谷要足够低，才能保证g(x)=0有解，林工写下不等式：0＜ln(-2a)＜2，这意味着-1/2＜a＜0，但这仅仅是开始,更严苛的条件正藏在函数值的精妙计算里。

根据g(0)=1+b和g(2)=e²+4a+b，结合之前得到的4a+2b=-e²，可以解出b=-e²/2-2a，代入g(0)得g(0)=1-e²/2-2a，g(2)=e²+4a-e²/2-2a=e²/2+2a。

为了保证g(x)=0在[0,2]有解，需要g(0)与g(2)异号，林风写下不等式：(1-e²/2-2a)(e²/2+2a)＜0，这个不等式像一只狡猾的狐狸，看似简单却暗藏陷阱，他设t=2a，不等式变为(1-e²/2-t)(e²/2+t)＜0。

展开后得到：-(t+e²/2)(t-1+e²/2)＜0，即(t+e²/2)(t-1+e²/2)＞0，这个二次不等式的解集是t＜-e²/2或t＞1-e²/2，代回t=2a，得到a＜-e²/4或a＞1/2-e²/2。

但之前已经得出-1/2＜a＜0，而e²≈7.389，e²/4≈1.847，1/2-e²/2≈-3.194，结合这两个条件，真正的解集应该是-1/2＜a＜-e²/4，而-e²/4≈-1.847＜-1，所以a＜-1得证。

当林风写下最后一个句点时，窗外的阳光已经偏西，在草稿纸上投下长长的影子，那些曾经让他头疼的指数函数、导数、极值点，此刻都化作清晰的逻辑链条，他忽然明白，数学证明就像攀登雪山，每一步都需要精确的计算和坚定的信念，而当你站在顶峰回望时，那些曾经看似不可逾越的障碍,都变成了脚下壮丽的风景。

收卷的铃声响起，林风放下笔，望向窗外，远处的教学楼里，还有许多考生正与自己的"雪山"搏斗，而他知道，无论结果如何，这道压轴题教会他的，不仅仅是数学证明的方法，更是面对难题时的从容与智慧——就像函数在极值点完成蜕变,人生也总会在挑战中迎来新的上升。