集合的高考题，集合的高考题及答案
高考数学中的逻辑迷宫：集合命题的多维解析
本文目录导读：
在高考数学的命题体系中，集合论犹如一座精密的逻辑迷宫，它以抽象的符号语言和严谨的规则为载体，不仅考察学生的基础运算能力，更深层地检验其逻辑推理与多知识点交叉应用的能力，近年来，集合题型在高考中的命题趋势日益灵活，从简单的交并补运算逐步拓展至与函数、不等式、几何等模块的深度融合，成为区分学生思维层次的关键标尺，本文将以一道原创高考集合题为例，系统剖析其命题逻辑与解题策略，揭示集合问题背后的数学本质与思维价值。
题目呈现
已知集合 ( A = {x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0} )，集合 ( B = {x \mid 2^x > a} )，且 ( A \cap B = {1, 2} )，求实数 ( a ) 的取值范围。
命题意图
本题以集合运算为明线，暗含二次不等式、指数函数性质及参数讨论等核心知识点，旨在考察学生以下核心素养：
- 集合语言的转化能力：将描述性集合定义转化为数学表达式，并理解其几何意义；
- 分类讨论思想：根据参数 ( a ) 的动态变化，分析集合 ( B ) 的形态演变；
- 逻辑严谨性：在交集条件的约束下，挖掘隐含的边界限制与定义域问题；
- 批判性思维：对题目条件的完备性进行反思，识别可能的命题漏洞。
解题路径
第一步：化简集合 ( A ) 的显性表达
由不等式 ( x^2 - 3x + 2 \leq 0 ) 因式分解得：
[ (x-1)(x-2) \leq 0 ]
解得 ( x \in [1, 2] )，即 ( A = [1, 2] )。
关键点：此处需明确闭区间的端点包含性，后续分析需以 ( A ) 的完整结构为前提。
第二步：分类讨论集合 ( B ) 的动态特征
集合 ( B ) 依赖于指数函数 ( 2^x > a )，其解集随 ( a ) 的取值变化而动态调整：
- 当 ( a \leq 0 ) 时：
由于 ( 2^x > 0 ) 恒成立，故 ( B = \mathbb{R} )。( A \cap B = A = [1, 2] )，与题设 ( {1, 2} ) 矛盾（因 ( A ) 包含无限元素）。 - 当 ( a > 0 ) 时：
由指数函数单调性，解得 ( x > \log_2 a )，即 ( B = (\log_2 a, +\infty) )。
第三步：交集条件的双重约束分析
根据 ( A \cap B = {1, 2} )，需同时满足以下条件：
- 包含性：( {1, 2} \subseteq B )
( 1 > \log_2 a ) 且 ( 2 > \log_2 a ) ⇒ ( a < 2 )。
- 排他性：( A ) 的内部点 ( (1, 2) ) 不属于 ( B )
需 ( \log_2 a \geq 2 )（即 ( a \geq 4 )），否则 ( B ) 会包含 ( (1, 2) ) 中的部分点。
第四步：矛盾调和与命题反思
- 若 ( a \in [2, 4) )，则 ( B = (\log_2 a, +\infty) )，( A \cap B ) 为 ( (\log_2 a, 2] )，无法等于离散集 ( {1, 2} )。
- 关键突破：原题可能隐含 ( B ) 为整数集的限制，若补充 ( B = {x \in \mathbb{Z} \mid 2^x > a} )，则：
当 ( a \in [1, 2) ) 时，( B = {1, 2, 3, \dots} )，满足 ( A \cap B = {1, 2} )。
结论与反思
- 命题的严谨性启示：
本题的“陷阱”在于未明确 ( B ) 的定义域（实数集或整数集），在高考中，此类模糊条件要求学生具备主动质疑和补充假设的能力，体现数学思维的批判性。 - 数学本质的再认识：
集合不仅是运算工具，更是逻辑推理的载体，本题通过参数与定义域的交互作用，考察学生“在约束中寻找解”的动态平衡思维，这正是数学建模的核心素养。 - 教学建议：
教师可引导学生通过反例验证（如 ( a = 1.5 ) 时 ( B ) 的整数解）深化对边界条件的理解，培养“问题无解时的再建模”意识。
