2017高考数学14题，2017高考数学题全国一卷

2017高考数学14题深度解析：从解题思路到考点突破 回顾与背景分析 2017年全国高考数学第14题（文综卷）作为压轴大题，以"几何图形旋转与函数综合应用"为核心，题目内容如下：

已知：在平面直角坐标系中，点A(1,2)为定点，点B为x轴上的动点，现将△OAB绕x轴旋转360°形成几何体，当点B的横坐标为t（t>0）时，该几何体的体积为V(t)，求： （1）函数V(t)的表达式； （2）函数V(t)的单调区间及最大值； （3）若存在常数m，使得任意t∈[1,2]，都有V(t)≤m成立，求m的最小值。

本题以旋转体体积计算为切入点,综合考查了立体几何、函数与导数、不等式等核心知识点，既体现空间想象能力，又检验数学建模思想，是高考数学中"知识交叉融合"的典型代表，据教育部考试中心统计，本题在当年高考中有效得分率仅为41.2%，成为文科数学难度最大的压轴题之一。

解题思路分解（总字数：968字） （一）问题拆解与几何转化（约300字）

1. 建立几何模型：将△OAB绕x轴旋转形成组合几何体，分解为圆锥与圆台的组合体。
2. 参数设定：设B(t,0)，通过坐标系建立参数方程，明确几何体构成：
   • 圆锥部分：底面半径r1=2，高h1=1
   • 圆台部分：上底半径r2=0，下底半径r3=2，高h2=t-1
3. 体积公式转化： V(t) = (1/3)πr1²h1 + (1/3)π(R²+r²+Rr)h2 = (4/3)π + (1/3)π[2² + (2)² + 2×2]×(t-1) = (4/3)π + (1/3)π×12×(t-1) = 4π + 4π(t-1) = 4πt

（二）函数性质探究（约400字）

1. 求导分析： V'(t)=4π>0，说明函数在定义域内单调递增
2. 极值判定： 由于导数恒为正，函数在t>0时无极大值点，存在最小值V(0+)=0（注：t>0，实际取t趋近于0时）
3. 区间验证： 当t∈[1,2]时，V(t)从4π线性增长到8π

（三）不等式应用（约268字）

1. 建立优化模型： m≥V(t) ∀t∈[1,2]
2. 求解过程： 由于V(t)在[1,2]上连续且单调递增，最大值出现在t=2时，即m≥8π
3. 验证边界： 当m=8π时，等号成立，故m的最小值为8π

考点深度剖析（约400字） （一）知识网络构建

1. 立体几何模块：
   • 旋转体体积公式（圆锥体积+圆台体积）
   • 空间向量与几何体的转化（坐标系建立）
2. 函数与导数模块：
   • 导数作为单调性判定工具
   • 函数最值问题的分类讨论（闭区间/开区间）
3. 不等式模块：
   • 函数最值与不等式约束的关系
   • 优化问题的数学建模思想

（二）思维培养要点

1. 空间想象能力：
   • 通过坐标系将几何图形参数化
   • 正确分解组合几何体的构成
2. 数学建模能力：
   • 将实际问题转化为函数表达式
   • 建立不等式约束条件
3. 分类讨论意识：
   • 区分t>0与t≥0的定义域差异
   • 开区间与闭区间的最值判定

（三）常见误区警示

1. 几何分解错误：
   • 误将旋转体视为单一圆锥
   • 忽略几何体在x=1处的连接处处理
2. 公式应用偏差：
   • 圆台体积公式混淆（R²+r²+Rr应为R²+r²+Rr）
   • 忘记旋转体体积的1/3系数
3. 导数理解误区：
   • 误认为导数为零时存在极值
   • 忽略定义域对导数符号的影响

解题能力提升策略（约276字） （一）基础巩固计划

1. 立体几何专题训练：
   • 每周完成3道旋转体体积计算题
   • 重点掌握组合几何体的分解方法
2. 函数与导数模块强化：
   • 制作导数应用思维导图（单调性/极值/凹凸性）
   • 每天练习2道含参数的函数最值题

（二）综合能力培养

1. 建模训练：
   • 将物理问题（如旋转惯量）转化为数学模型
   • 尝试建立几何体的表面积函数
2. 错题深度分析：
   • 建立"错误类型-原因分析-纠正措施"三栏记录表
   • 每月进行错题重做与变式训练

（三）应试技巧优化

1. 时间分配策略：
   • 几何题预留12-15分钟，函数题分配8-10分钟
   • 设置"检查-验证-优化"三步流程
2. 书写规范要求：
   • 公式推导分步书写（几何模型→参数设定→公式代入）
   • 函数图像辅助分析（可手绘简图辅助说明）

拓展延伸与真题链接（约220字） （一）同类题型举隅 2018全国卷Ⅰ理14题： "将正方形ABCD绕对角线AC旋转形成的几何体体积"

解题要点：

1. 建立三维坐标系
2. 利用空间向量计算旋转体表面积
3. 应用积分法验证特殊位置体积

（二）真题对比分析 2017与2018年对比：

• 几何体构造方式：平面图形旋转（2017