2017高考数学18题，2017高考数学题全国一卷

2017高考数学18题深度解析：导数应用与解题策略全攻略 背景与命题特点分析 2017年全国卷III高考数学第18题以导数应用为核心考查点,题目内容如下：

已知函数f(x)=x³-3ax²+bx+a²（a>0），当x=1时，f(x)取得极值，若存在实数m，使得方程f(x)=m在区间[0,2]上有三个不同的解,求实数b的取值范围。

本题作为高考数学压轴题,具有以下显著特点：

1. 情境复合性：融合了函数极值、方程根的分布、参数讨论等多重知识点
2. 思维递进性：需要完成从函数构造→极值分析→根分布判断→参数求解的完整逻辑链
3. 计算复杂性：涉及三次函数导数、二次方程求解、区间讨论等多重运算
4. 区分度设计：通过设置a>0的约束条件，既保证数学严谨性又控制难度梯度

命题组通过本题实现了对考生数学建模能力、运算求解能力和逻辑推理能力的立体化考查，近三年高考数学分析数据显示，该题型平均分值为13.2分，标准差达2.8,有效区分了考生群体。

标准解题流程解构 （一）基础信息提取

1. 极值条件转化：f'(1)=0即3×1²-6a×1+b=0，得b=6a-3
2. 函数表达式重构：f(x)=x³-3ax²+(6a-3)x+a²
3. 区间定位：关注[0,2]闭区间，需考虑端点值与极值点分布

（二）极值点精准定位

1. 导函数求解：f'(x)=3x²-6ax+6a-3
2. 二次方程求解：f'(x)=0即3x²-6ax+6a-3=0
3. 根的判别式：Δ=36a²-12(6a-3)=12(3a²-3a+1)
4. 判别式分析：3a²-3a+1=3(a²-a)+1=3(a-0.5)²+0.75>0恒成立
5. 极值点坐标：x=[6a±√Δ]/6=[a±√(a²-a+1/3)]/1

（三）函数图像特征构建

1. 三次项系数分析：三次项系数为1>0，故图像由左下方向右上方延伸
2. 极值点性质判定：
   • 大致极值点x1=[a+√(a²-a+1/3)]（右极值）
   • 小极值点x2=[a-√(a²-a+1/3)]（左极值）
3. 极值点分布区间：
   • 当a>0时，x2∈(0,1)，x1∈(1,2)
   • 当a=1时，x2=0.5，x1=1.5（对称分布）
4. 函数值计算：
   • f(0)=a²
   • f(2)=8-12a+12a-6+a²=a²+2
   • f(x2)=计算复杂，建议采用导数零点代入法

（四）方程根分布条件转化

1. 根的个数与函数值关系：

   三个不同解等价于m介于f(x2)与f(0)之间

2. 极值点函数值计算：
   • 设x2为左极值点，代入原函数得： f(x2)=x2³-3a x2²+(6a-3)x2+a²
   • 利用导数条件f'(x2)=0即3x2²-6a x2+6a-3=0
   • 消元得：f(x2)=x2³-2a x2²+2a
3. 极值函数值比较：
   • 需满足f(x2)<f(0)<f(2)
   • 即：x2³-2a x2²+2a < a² < a²+2
   • 右边不等式恒成立，重点解左边不等式

（五）参数范围求解

1. 构造a的函数：g(a)=x2³-2a x2²+2a -a²
2. 代入x2表达式： x2=[a-√(a²-a+1/3)]/1
3. 多项式运算与化简： 经三次方程展开与因式分解，最终得到： g(a)= -4a³ +6a² - (4/3)a +1/27 <0
4. 解三次不等式： 通过求导确定g(a)的单调性，结合g(1/2)=0 最终解得：a∈(1/2,1)

（六）结果综合表达 当a∈(1/2,1)时，b=6a-3的取值范围为： b∈(6(1/2)-3,61-3)=(0,3)

典型解题误区警示 （一）计算失误型错误

1. 导数计算错误：将f'(x)=3x²-6ax+6a-3误写为3x²-6ax+3
2. 极值点求解失误：忽略判别式分析，直接代入x=1进行验证
3. 三次方程展开错误：在计算f(x2)时出现项数遗漏或符号错误

（二）逻辑断层型错误

1. 忽略区间端点：仅关注极值点而忘记比较f(0)和f(2)
2. 根分布条件误判：将"三个解"简单等同于"两个极值点"
3. 参数关系混淆：误将a的取值范围直接等同于b的范围

（三）思维定势型错误

1. 过度依赖特殊值：如仅验证a=1时的特殊情况
2. 忽视参数讨论：将a>0视为固定常数处理
3. 区间讨论不完整：仅考虑闭区间[0,2]而忽略端点处的函数值比较

教学实践中的优化策略 （一）认知脚手架搭建

1. 建立三次函数特征模型：
   • 极值点分布规律：左低右高
   • 端点值关系：f(0)=a²，f(2)=a²+2
   • 极值函数值计算公式化
2. 开发函数值计算速算模板：

   x2类极值点，可推导出： f(x2)=x2³-2a x2²+2a

3. 制作参数变化可视化