2017江苏数学高考14题，2017年江苏高考数学14题解析

2017江苏高考数学第14题深度解析：解析几何中的思维进阶与技巧突破

高考压轴题的典型特征与江苏卷特色

在高考数学考试中，选择填空题最后一道大题（即第14题）往往承担着检测学生综合数学素养的核心任务，2017年江苏省数学高考第14题以椭圆为载体，融合几何性质、代数运算与最值问题，成功构建了一道难度系数为0.32的压轴题，这道题不仅延续了江苏卷"小而精"的命题风格，更通过设置弦长平方和的极值问题，考查了学生的数学建模能力、参数转化技巧以及分类讨论意识，其解题过程需要考生在椭圆参数方程、焦点性质、不等式应用等多个知识模块间建立有机联系，堪称解析几何领域的经典命题范例。 回顾与条件转化

题目原文

已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），离心率e满足$e^2 = \frac{2}{3}$，过椭圆C的焦点F作两条互相垂直的弦AB和CD,求弦AB和CD长度平方和的最大值与最小值。

条件转化表

解题思路三维分析

思维导图解构

椭圆几何性质
├─ 标准方程参数：a,b,e
├─ 焦点坐标推导：ae,0
├─ 弦长公式：$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
└─ 垂直条件：斜率乘积=-1
代数转化路径
├─ 参数方程法：θ参数表示弦端点
├─ 离心率关联：$b^2 = a^2(1 - e^2)$
├─ 焦点弦长公式：$L = \frac{2b^2}{a(1 - e^2\cos^2θ)}$
└─ 坐标系平移：焦点为原点时的简化
极值求解方法
├─ 函数求导法：变量替换后单变量极值
├─柯西不等式应用：约束条件下的最值
├─参数分离法：将平方和分解为独立变量
└─几何对称性：利用椭圆反射性质

关键突破点

• 离心率与参数关系：由$e^2 = 2/3$推导出$b^2 = a^2/3$，建立a与b的恒等关系
• 焦点弦长公式：应用焦点弦长公式时需注意θ参数与焦点位置的关系
• 垂直条件的代数转化：通过斜率关系建立二次方程约束条件
• 对称性利用：当AB与CD互相垂直时，其斜率满足特定对称关系

详细解题过程（三解法对照）

参数方程法

1. 参数设定
   设焦点F在右侧$(ae, 0)$，过F的直线AB参数方程为： $x = ae + t\cosθ,\quad y = 0 + t\sinθ$
   代入椭圆方程得： $\frac{(ae + t\cosθ)^2}{a^2} + \frac{(t\sinθ)^2}{b^2} = 1$

2. 弦长求解
   展开整理得t的二次方程： $[ \frac{\cos^2θ}{a^2} + \frac{\sin^2θ}{b^2} ] t^2 + \frac{2ae\cosθ}{a^2} t + \frac{a^2e^2}{a^2} - 1 = 0$
   根据韦达定理，弦长平方为： $|AB|^2 = \left( \frac{2\sqrt{D}}{A} \right)^2 = \frac{4(b^4 - a^2e^2b^2\cos^2θ)}{a^2b^2 - a^4e^2\cos^2θ}$

3. 垂直条件处理
   CD弦，设其倾角为θ + π/2，代入弦长公式后建立： $|