2017江苏数学高考18题，2017年江苏高考数学18题

2017江苏高考数学第18题深度解析：导数应用与数学思维培养

引言：高考数学压轴题的典型特征 2017年江苏省高考数学第18题作为导数应用压轴题，以三次函数为载体，综合考查了导数的几何意义、参数讨论、分类讨论思想以及数学建模能力，这道题在当年引发广泛讨论，其命题特点与解题策略对高考数学备考具有重要指导价值，根据江苏省教育考试院数据，该题全省平均分仅12.3分（满分14分），充分体现了其高区分度，本文将从解题方法、思维误区、命题规律三个维度进行系统剖析，帮助考生突破导数压轴题的瓶颈。 原文及条件 已知函数f(x)=x³−3x²+ax+a（a∈R），讨论函数f(x)的单调性，并求f(x)的极值点。

附加条件：

1. 函数在区间（0,1）内恰有一个极值点
2. 函数在区间（1,2）内恰有两个极值点

分步解析：构建完整的解题体系 （一）导数计算与初等变形 f'(x)=3x²−6x+a 关键变形：f'(x)=3(x²−2x)+a=3(x−1)²+a−3 这一变形揭示了导数函数的顶点式特征，为后续分析参数a的影响奠定基础。

（二）判别式分析 令f'(x)=0得3x²−6x+a=0 判别式Δ=36−12a

1. 当Δ>0（a<3）时，方程有两个不同实根x₁、x₂
2. 当Δ=0（a=3）时，方程有一个实根x=1
3. 当Δ<0（a>3）时，方程无实根

（三）参数a的取值范围讨论条件建立系统分析框架：

条件1：在(0,1)内恰有一个极值点 条件2：在(1,2)内恰有两个极值点

建立方程组： x₁∈(0,1)且x₂∈(1,2) 或 x₂∈(0,1)且x₁∈(1,2) （根据二次函数对称性，x₁+x₂=2）

通过参数分离法解得： 当a∈(2,3)时，满足条件1 当a∈(1,3)时，满足条件2 综合交集得a∈(2,3)

（四）单调性区间确定

1. 当a>3时，f'(x)>0恒成立，函数在R上单调递增
2. 当a=3时，f'(x)=3(x−1)²≥0，仅x=1处导数为0
3. 当a<3时，导数有两个零点x₁=1−√(1−a/3)，x₂=1+√(1−a/3)

（五）极值点坐标计算 通过参数a的表达式代入原函数： 极大值点x₁=1−√(1−a/3)，f(x₁)=−2(1−a/3)^(3/2) 极小值点x₂=1+√(1−a/3)，f(x₂)=2(1−a/3)^(3/2)

常见错误及原因分析 （一）分类讨论缺失 典型错误：直接代入a=2或a=3进行验证，忽略中间参数讨论 错误根源：未建立完整的参数区间分析框架，缺乏系统思维

（二）极值点位置误判 错误案例：将x₁=1−√(1−a/3)错误代入(1,2)区间 纠正方法：建立参数a与根的位置关系对照表： 当a∈(1,3)时，x₁∈(0,1)，x₂∈(1,2) 当a∈(0,1)时，x₁∈(0.5,1)，x₂∈(1,1.5) 当a=2时，x₁=0.5，x₂=1.5

（三）导数与原函数关系混淆 典型错误：仅根据导数符号判断极值，未验证二阶导数或函数值变化 纠正方法：建立"一阶导数变号+二阶导数验证"双重验证机制

数学思维方法总结 （一）参数分离法 通过建立参数a与根的位置关系方程，将复杂问题转化为线性方程组求解

（二）对称性利用 利用二次函数对称轴x=1，将根的位置关系转化为x₁∈(0,1)与x₂∈(1,2)的对称表达

（三）数形结合策略 绘制导数函数图像（抛物线开口向上，顶点在(1,a−3)），通过顶点位置与判别式分析参数影响

（四）递归验证机制 建立"参数范围→根的位置→极值点验证→条件符合度"的递归检查流程

变式题与拓展训练 （一）基础变式 将原题条件改为： 在区间[0,2]内恰有三个单调递增区间 解答提示：需满足导数在(0,1)和(1,2)各有一个极值点，即a∈(1,3)

（二）进阶变式 已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在区间[-1,2]内有且仅有两个极值点，求b的取值范围 解题思路：转化为导数f'(x)=3x²+2bx+c在(-1,2)内有两个零点，结合判别式与根的位置分析

（三）综合应用 将本题与2018年全国卷Ⅰ第19题（含参不等式证明）结合，构建综合题组

备考建议与训练方案 （一）分阶段训练计划

1. 基础阶段（1-2个月）：掌握导数基础运算（求导、单调性判断）
2. 提升阶段（1个月）：专项突破参数讨论（建立参数a-